Sifat-Sifat Aljabar pada Bilangan Real (R)

Sifat-Sifat Aljabar pada Bilangan Real
Skakmath Logo

Written by skakmath7

April 9, 2020

Sifat-Sifat Aljabar pada Bilangan Real

Sifat-Sifat Aljabar pada Bilangan Real – Pada Himpunan bilangan Real (R) terdapat dua operasi biner, yaitu penjumlahan (notasinya yaitu +) dan perkalian (notasinya adalah . ). Operasi tersebut memenuhi sifat-sifat berikut:

1. a + b = b + a, ∀ a,b ∈ R (ini merupakan sifat Komutatif Penjumlahan)

2. (a + b) + c = a + (b + c), ∀ a,b,c ∈ R (ini merupakan sifat Assosiatif Penjumlahan)

3. ∃ 0 ∈ ∋ 0 + a = a dan a + 0 = a, ∀ a ∈ (Keberadaan Unsur Nol/ Identitas)

4. ∀ a ∈ R, ∃(−a) ∈ ∋ a + (−a) = 0 dan (−a) + a = 0 (Keberadaan Unsur Negatif)

5. a.b = b.a, ∀ a,b ∈ R (ini merupakan sifat Komutatif Perkalian)

6. (a.b).c = a.(b.c), ∀ a,b,c ∈ R (ini merupakan sifat Assosiatif Perkalian)

7. ∃1 ∈ R, 1 ≠ 0 ∋ 1.a = a dan a.1 = a, ∀ a ∈ R. (Keberadaan Unsur Satuan)

8. ∀a ∈ R, a ≠ 0, ∃(1/a) ∈ Ra.(1/a) = 1 dan (1/a).a = 1 (Keberadaan Unsur Kebalikan)

9. ∀ a,b,c ∈ R, a(b+c) = (a.b) + (a.c) dan (b+c).a = (b.a) + (c.a) (Sifat Distribusi Perkalian terhadap Penjumlahan)

Pembuktian Teorema

Definisi 1.1 (Definisi Pengurangan)

a – b = a + (-b), untuk suatu a,b ∈ R.

Definisi 1.2 (Definisi Pembagian)

Jika a, b ∈ R, dan b ≠ 0 maka a/b = a.[1/b]

Definisi 1.3 (Definisi Bilangan Berpangkat)

1. aº = 1 dan a¹ = a, a ∈ R
2. an+1 = (an).a, n ∈ N
3. Jika a ≠ 0 maka a-1 = 1/a dan a-n = 1/an , n ∈ N

Definisi 1.4 (Definisi Bilangan Rasional)

Himpunan bilangan rasional dinotasikan dengan Q,
Q = {a/b, a,b ∈ Z, dan b ≠ 0)

Contoh untuk Definisi 1.4

Misal: a = 1, b = 2 maka ½ ∈ R.
Karena 1 dan 2 ∈ z, dan z ≠ 1.

Bukan Contoh:

√2 ∉ Q, sehingga √2 = √2/1, 1≠0, 1 ∈ z, tapi √2 ∉ z.

Teorema 1.1 (Teorema adalah pernyataan yang bernilai benar, dam dapat dibuktikan nilai kebenarannya)

a) Jika z dan a unsur sedemikian hingga  z+ a = a maka z = 0

Buktikan:
Diketahui : a, z ∈ R, z + a = a !
Akan dibuktikan: z = 0 !
Bukti:

z ∈ maka z = z + 0

z + a = 0 (Diketahui)
(z + a) + (-a) = a + (-a) (Sif 4, Sif. Kesamaan)
z + (a + (-a)) = a + (-a) (Sif. 2)
z + 0 = 0 (Sif. 4)
z = 0 (Sif. 3)

Terbukti, ∀ a, z ∈ R, z + a = a → z = 0.

b) Jika u dan b ≠ 0 unsur sedemikian hingga u.b = b, maka u = 1.

Buktikan:
Diketahui : u, b ∈ dan b ≠ 0, maka u.b = b !
Akan dibuktikan: u = 1 !
Bukti:

u.b = b
(u.b) . 1/b = b . 1/b (Sif. Kesamaan
u . (b . 1/b) = b . 1/b (Sif. 6)
u (1) = 1 (Sif.8)
u = 1 (Sif.7)

Terbukti bahwa ∀ u, b ∈ R, dan b ≠ 0, u . b = b → u = 1

Sekian dulu pembahasan kita kali ini tentang Sifat-Sifat Aljabar pada Bilangan Real.
Untuk pembahasan selanjutnya akan kita bahas mengenai Teorema-Teorema lainnya.
Tetap di Skakmath.com !

Jangan Lupa di Share, semoga bermanfaat.
Terimakasih

Share it with...

Baca juga…

0 Comments

Submit a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *