Logika Matematika

Logika Matematika – Tahukah Kamu tentang Logika Matematika? Aristoteles adalah ahli filsafat pertama yang mengembangkan logika pada jaman Yunani kuno, sekitar tahun 400 SM. Kala itu logika dikenal dengan istilah Logika Tradisional.

Pada pertengahan abad ke-18, G.W. Leibniz (1646-1716) adalah matematikawan pertama yang mempelajari Logika Simbolik. Kemudian pertengahan abad ke-19 George Boole (1815-1864), menulis buku “Laws of Thought” yang mengembangkan logika simbolik sebagai sistem matematika yang abstrak.

Matematikawan lain yang berjasa dalam mengembangkan logika simbolik, diantaranya adalah Leonhard Euler pada tahun 1707-1783, kemudian ada John Venn (1834-1923), dan Bertrand Russell (1872-1970).

Nah, di atas kita telah memaparkan sedikit sejarah munculnya Logika Tradisional dan juga Logika Simbolik, maka muncul pertanyaan, Apa itu Logika Tradisional? dan Apa itu logika Simbolik?

Logika Tradisional adalah logika yang dipelajari hanya sebagai bagian dari metode filsafat. Sementara Logika simbolik adalah logika yang dipelajari untuk membangun keterampilan penalaran ilmiah.

Ilmu pengetahuan empirik bertolak dari data empirik. Untuk menganalisis data empirik diperlukan logika induktif. Dengan penalaran induktif, ilmu pengetahuan berusaha menemukan sifat-sifat dan hukum-hukum alam empirik. Hukum dan sifat-sifat itu digunakan untuk memahami keadaan yang nyata. Penerapan itu dikerjakan melalui pemikiran deduktif.

Pada akhirnya ilmu pengetahuan empirik berusaha merumuskan hasilnya secara kuantitatif. Proses penalaran sampai merumuskan hasil diperlukan logika yang sesuai, yaitu logika simbolik.

Dalam percakapan sehari-hari, kata logika berarti “menurut akal”. Ungkapan itu sering kita dengar seperti: “Alasan yang dikemukakannya itu masuk akal atau logis”. Sedangkan sebagai istilah, logika berarti suatu metode atau teknik yang digunakan untuk meneliti ketepatan panalaran. Ketepatan penalaran adalah kemampuan untuk menarik konklusi (kesimpulan) yang tepat dari bukti-bukti yang ada.

Penalaran adalah suatu bentuk pemikiran. Bentuk-bentuk pemikiran mulai dari yang paling sederhana adalah: (1) Pengertian atau konsep; (2) Proposisi atau pernyataan, dan (3) penalaran,. Maka kali ini kita akan membahas tentang bagian proposisi (pernyataan).

A. Pernyataan dan Kalimat Matematika

Nah, ketika seorang ahli matematika akan membuktikan atau memutuskan situasi yang dihadapi, maka ia harus menggunakan sistem logika. Demikian pula halnya dengan para programmer komputer, tidak lepas dari kaidah-kaidah logika.

Logika merupakan suatu metode ataupun teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Penalaran adalah suatu bentuk pemikiran yang masuk akal. Untuk menyampaikan pemikiran tersebut seseorang menggunakan kalimat. Banyak bentuk kalimat dalam kehidupan sehari-hari. Namun dalam matematika hanya akan dipelajari kalimat yang mempunyai arti saja, yaitu:

a. Kalimat pernyataan;
b. Kalimat terbuka;
c. Kalimat tertutup:
d. Kalimat bukan pernyataan.

Contohnya Pernyataan/Kalimat:
1. Gunung Krakatau terletak di Jawa Barat (pernyataan)
2. Lima adalah bilangan ganjil (Pernyataan)
3. x adalah bilangan kuadrat (kalimat terbuka)
4. a + 2 = 10 (kalimat terbuka)
5. Mari kita pergi bersama-sama (bukan pernyataan)
6. Wah cantik sekali wanita itu (bukan pernyataan)
7. 2+2=4 (kalimat tertutup)

B. Proposisi (Pernyataan)

Pernyataan adalah suatu kalimat yang memiliki atau bernilai benar atau salah, akan tetapi tidak sekaligus kedua-duanya. Jadi bisa bernilai benar saja,atau bisa bernilai salah.

Contohnya:
Ayam Jantan itu berkokok.

Pada Pernyataan di atas, terlihat bahwa:

• Ada pengertian yang menerapkan tentang pengertian lain. “Berkokoko” menerangkan tentang “ayam jantan”. Pengertian menerangkan disebut predikat “P” dan pengertian yang diterangkan di sebut subyek “S“.
  S : ayam jantan ; P : Berkokok
  Jika kata “itu” atau fungsi menerangkan itu diberi tanda “=”, maka pola pernyataan itu ditulis : S = P
• Kalau terjadi pengingkaran, maka proposisi yang terbentuk: “Ayam jantan itu tidak berkokok”, dan pola proposisinya: S ≠ P.
• Apabila pada proposisi di atas terjadi pengakuan bahwa ayam jantan itu memang berkokok, atau ayam jantan itu tidak berkokok, berarti “memang benar ayam jantan itu berkokok” atau tidak berkokok.

Jadi, jelas menerangkan bahwa proposisi (pernyataan) itu memiliki sifat benar saja atau salah saja.

Proposisi yang berdasarkan observasi (data) empirik, disebut proposisi empirik. Sedangkan proposisi mutlak, yaitu sifat kebenaran atau kesalahannya langsung diterima oleh pikiran kita. Misalnya “air mendidih pada suhu 100º C (proposisi empirik) dan janda adalah wanita yang sudah pernah menikah (proposisi Mutlak).

Nilai kebenaran suatu pernyataan tergantung pada kebenaran atau ketidakbenaran realitas yang dinyatakannya. Kebenaran berdasarkan realitas disebut kebenaran faktual. Sedangkan benar atau salahnya suatu pernyataan disebut nilai kebenaran pernyataan itu.

Contoh 2:
a. Rasa air laut itu asin.
b. Putra Memakai sepatu.
c. 2 adalah bilangan prima.
d. Jakarta terletak di Pulau Jawa dan Ibukota RI.

Contoh 2a,2b,2c adalah pernyataan yang hanya menyatakan pemikiran tunggal, sedangkan contoh 2d adalah pernyataan majemuk.

Pernyataan yang menyatakan pikiran tunggal disebut pernyataan sederhana, sedangkan pernyataan yang terdiri dari beberapa peryataan sederhana dengan bermacam-macam kata hubung disebut pernyataan majemuk.

C. Kalimat Terbuka, Peubah (Variabel), Konstanta, dan Penyelesaian Kalimat Terbuka (Pengulangan)

1. Kalimat Terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan menjadi pernyataan jika variabel tersebut diganti konstanta dalam himpunan semestanya.

Contoh: a) Kota P merupakan daerah wisata; b) 2 + x = 8 

2. Variabel adalah lambang untuk menunjukkan anggota sebarang dari himpunan semesta.

Contoh: a) x − 2 = 5 (x merupakan variabel) ; b) ◊ + 6 = 11 (◊ merupakan variabel)

3. Konstanta adalah lambang untuk menunjukkan anggota tertentu dalam himpunan semesta.

Contoh: 
a) x − 2 = 5, jika x diganti dengan 7 maka pernyataannya menjadi 7 − 2 = 5, ini adalah pernyataan bernilai benar dan 7 adalah konstanta, atau dengan kata lain -2 dan 5 itu adalah konstanta. 

D. HImpunan Penyelesaian Suatu Kalimat Terbuka

Untuk memahami himpunan penyelesaian suatu kalimat terbuka, perhatikanlah contoh-contoh berikut ini:

a) 2x − 5 < 5; x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Kalimat tersebut menjadi pernyataan yang bernilai benar jika x diganti dengan 0, 1, dan 2, akan tetapi akan bernilai salah jika x diganti dengan 3, 4, dan 5. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0, 1, 2}. 

b) x² + 5x − 24 = 0
Kalimat tersebut menjadi pernyataan yang benar jika x diganti dengan −8 dan 3. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {−8, 3}.

Dari contoh-contoh di atas dapat kita simpulkan bahwa:

• Penyelesaian suatu kalimat terbuka adalah konstanta-konstanta pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan yang benar.
• Himpunan yang memuat semua penyelesaian yang mungkin disebut himpunan penyelesaian.

Sekian dulu pembahasan kita kali ini tentang Logika Matematika.
Semoga bermanfaat.
Baca juga artikel lainnya hanya di Skakmath.com !
Jangan lupa di share yaaa.
Semoga bisa menjadi amal jariyah buat kita semuaa.
AAMIIN 🙂