A. Fungsi Putaran (Winding Function)
Mari kita perhatikan gambar lingkaran dengan jari-jari 1 satuan. Persamaan lingkaran itu adalah x²+y²=1. Andaikan bahwa θ adalah sebarang bilangan titik (1,0) diputar dengan pusat O.
Gambar 1.
Selanjutnya θ menyatakan besarnya sudut yang dibentuk apabila sinar OX diputar dengan pusat O, (perhatikan bahwa θ dapat berupa bilangan positif, negatif ataupun nol.
Sehingga dapat diperoleh:
P (0) = (1,0)
P (π/2) = (0,1)
P (π) = (-1,0), dan seterusnya.
P (θ) disebut sebagai fungsi putaran apabila untuk setiap bilangan real θ menentukan dengan tunggal satu titik P(θ) = (x,y) pada lingkaran x²+y²=1 adalah 2π, dan disimpulkan bahwa θ, 2π+θ, θ−2π, dan seterusnya menentukan titik yang sama, maka P(θ) = P(θ ± 2kπ) untuk setiap bilangan θ dan k bilangan bulat.
B. Fungsi Trigonometri
Gambar 2.
P(θ) menyatakan fungsi putaran suatu titik P(θ) sama dengan (x,y) dikatakan terletak pada suatu daerah yang disebut kuadran apabila untuk sebaran bilangan bulat k = 0, 1, 2, 3, …
P(θ) ≡ (x,y) terletak pada kuadran I, jika: 2kπ < θ < π/2 + 2kπ
P(θ) ≡ (x,y) terletak pada kuadran II, jika: π/2 + 2kπ < θ < π + 2kπ
P(θ) ≡ (x,y) terletak pada kuadran III, jika: π + 2kπ < θ < 3π/2 + 2kπ
P(θ) ≡ (x,y) terletak pada kuadran IV, jika: 3π/2 + 2kπ < θ < 2π + 2kπ
Selanjutnya, untuk keenam fungsi trigonometri lainnya akan didefinisikan dengan cara membayangkan titik P(θ) ≡ (x,y) berputar pada lingkaran x²+y²=1, sedangkan proyeksinya yaitu: titik (x,0) bergerak sepanjang sumbu mendatar pada interval [-1,1] dan titik (0,y) bergerak pada sepanjang sumbu vertikal pada interval [-1,1]. Oleh sebab itu, perhatikanlah gambar dibawah in:
Gambar 3.
- Andaikan P(θ) ≡ (x,y) terletak pada lingkaran. Suatu fungsi yang merubah θ (ukuran sudut) ke dalam bilangan real x, ditulis x=cos θ, disebut fungsi cosinus.
- Suatu fungsi yang merubah θ (ukuran sudut) ke dalam bilangan real y, ditulis y=sin θ disebut fungsi sinus.
Untuk : x = cos θ dan y = sin θ
x²+y²=1
(cos θ)² + (sin θ)² = 1
cos² θ + sin² θ = 1
Gambar 4.
Rumus:
a. −1 ≤ sin θ ≤ 1
b. −1 ≤ cos θ ≤ 1
c. sin (θ ± 2π) = sin θ
d. cos (θ ± 2π) = cos θ
e. sin (−θ) = −sin θ
f. cos (−θ) = cos θ
Pembuktiannya dengan memperhatikan gambar 4 di atas:
1. Untuk membuktikan sifat rumus a dan b, perlu kita perhatikan titik (x,y) pada lingkaran x²+y²=1 dengan P(θ) adalah fungsi putaran. Dengan demikian x ∈ [−1,1] dan y ∈ [−1,1] atau −1 ≤ y ≤ 1 atau −1 ≤ x ≤ 1, karena y = sin θ dan x = cos θ, maka dapat kita peroleh bahwa −1 ≤ sin θ ≤ 1 dan −1 ≤ cos θ ≤ 1.
2. Untuk membuktikan sifat c dan d perlu kita perhatikan titik P(θ) = (x,y) = (cos θ, sin θ) yang terletak pada lingkaran satuan.
θ = θ ± 2π
P(θ) = P (θ ± 2π)
(x,y) = (x,y)
Berdasarkana kesamaan di atas, maka diperoleh bahwa:
sin (θ ± 2π) = sin θ dan cos (θ ± 2π) = cos θ.
3. Untuk menunjukkan sifat e dan f, mari kita perhatikan gambar dibawah ini:
P(θ) = (x,y) = (cos θ, sin θ)
P(−θ) = (cos [−θ], sin [−θ])
P(−θ) = P(−θ)
(x,−y) = (cos [−θ], sin [−θ])
Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh:
cos θ = cos (−θ) dan sin θ = sin (−θ) , sehingga akibatnya : cos (−θ) = cos θ dan sin (−θ) = −sin (−θ).
Dari pembuktian 6 rumus di atas, maka dapat kita simpulkan bahwa:
a. −1 ≤ sin θ ≤ 1
b. −1 ≤ cos θ ≤ 1
c. sin (θ ± 2π) = sin θ
d. cos (θ ± 2π) = cos θ
e. sin (−θ) = −sin θ
f. cos (−θ) = cos θ
Sekian pembahasan kita kali ini mengenai fungsi putaran dan trigonometri, semoga bermanfaat.
Jangan lupa di share yaaa.
Baca juga artikel lainnya hanya di skakmath.com !
Terimakasih. 🙂
